Forme algébrique d'une puissance - Corrigé

Énoncé

Soit le nombre complexe \(z=3-\sqrt{3}i\) .  Déterminer la forme algébrique de \(z^{15}\) .

Solution

\(z= 2\sqrt{3} \text e^{-\frac{i\pi}{6}}\) .

On a : \(z^{15}= \left( 2\sqrt{3} \text e^{-\frac{i\pi}{6}} \right)^{15}= \left( 2\sqrt{3} \right)^{15} \text e^{15 \times \frac{-i\pi}{6}}= 2^{15} \times 3^{7} \times \sqrt{3} \text e^{\frac{-15i\pi}{6}}\)

donc   \(z^{15} = 2^{15} \times 3^{7} \times \sqrt{3} \text e^{-3\frac{i\pi}{6}}= 2^{15} \times 3^{7} \times \sqrt{3} \text e^{-\frac{i\pi}{2}}= 2^{15} \times 3^{7} \times \sqrt{3} \times (-i)= - 2^{15} \times 3^{7} \times \sqrt{3}i\)

donc \(z^{15}= - 2^{15} \times 3^{7} \times \sqrt{3}i\) .